Banyaknya cara memilih 2 murid laki-laki dari 12 orang dan memilih 3 murid perempuan dari 16 murid perempuan adalah (122) (163) = 36.960.

4. Akan dipilih pengurus inti kelas yang terdiri dari 5 murid. Peluang kelas memiliki satu atau dua murid laki-laki sebagai anggota pengurus inti adalah ….

A. 22/63
B. 47/63
C. 70/117
D. 88/117
E. 134/273

Jawaban: C. 70/117

Pembahasan:

Banyak cara memilih satu murid laki-laki dan 4 murid perempuan adalah (121) (164)

Banyak cara memilih dua murid laki-laki dan 3 murid perempuan adalah (122) (163)

Banyak cara memilih 5 pengurus inti adalah (285) Jadi, peluang terpilih satu atau dua murid laki-laki adalah (121)(164)+(122)(163)/(285) = 70/117.

Kambing ditempatkan dalam kandang pada suatu halaman penuh rumput. Kandang berbentuk persegi panjang ABCD dengan panjang AB=12 meter dan lebar AD=9 meter. Kambing ditambatkan pada dinding AB dengan tali yang panjangnya t meter. Pangkal tali ditambatkan pada dinding AB di titik P berjarak x meter dari titik sudut A.

5. Jika diketahui bahwa 0 < t>

A. t/2 ≤ x ≤ 6 + t/2
B. 6 − t ≤ x ≤ 12 − t
C. t/2 ≤ x ≤ 6 + t
D. t ≤ x ≤ 6 + t
E. t ≤ x ≤ 12 − t

Jawaban: E. t ≤ x ≤ 12 − t

Pembahasan:

Untuk 0 < t>

6. Misalkan AP = x = 3 dan panjang tali untuk kambing pertama adalah t meter, t ≤ 9. Kambing kedua ditempatkan dalam kandang diikat dengan tali yang ditambatkan ke titik Q di dinding BC. Peternak kambing perlu meyakinkan bahwa kedua kambing tidak bertemu dan berebut rumput. Jika BQ = 6, panjang tali untuk kambing kedua tidak boleh lebih dari ... meter.

A. √72 − t
B. √117 − t
C. √131 − t
D. √145 − t
E. √180 − t

Jawaban: B. √117 − t

Pembahasan:

PQ⊃2; = BP⊃2; + BQ⊃2;

PQ⊃2; = 9⊃2; + 6⊃2;

PQ⊃2;= 81 + 36

PQ⊃2; = 117

PQ = √117

Agar kambing dari P dan dari Q tidak bertemu maka panjang tali kambing kedua di Q adalah panjang PQ dikurang panjang tali kambing pertama yaitu √117 − t .

7. Misalkan tali kambing pertama ditambatkan di titik A dan tali kambing kedua di titik C. Panjang tali pertama adalah t meter, dengan 6 ≤ t ≤ 9. Jika panjang tali kambing kedua adalah maksimal sehingga kedua kambing tidak bertemu, jumlah luas daerah merumput kedua kambing akan mencapai nilai minimum untuk t = ...

A. 6
B. 7
C. 7,5
D. 8,5
E. 9

Jawaban: C. 7,5

Pembahasan:

M(t) = π/4 (t2 + (15-t)2) = π/4(2t2 - 30t + 225) = π/2 (t2 - 15t + 112,5) = π/2((t - 15/2)2 + 112,5 - (15/2)2)

Jadi, M(t) mencapai nilai minimum ketika t = 15/2 = 7,5.

Secara geometri, mencapai nilai minimum ketika kedua kambing bertemu di tengah, yaitu jika t=7,5 meter.

Berikut ini adalah tabel klasemen sementara lima klub teratas di Liga Seri A Italia tahun 2022. Setiap klub melakukan tepat dua pertandingan dengan setiap tim lain di mana terdapat 20 klub yang bermain di Liga Seri A. Poin yang diberikan di bawah ini adalah setelah klub memainkan sekitar tiga puluh pertandingan.

Napoli

Pertandingan: 32
Menang: 29
Imbang: 1
Kalah: 2

Atalanta

Pertandingan: 32
Menang: 24
Imbang: 2
Kalah: 6

AC Milan

Pertandingan: 31
Menang: 23
Imbang: 5
Kalah: 3

Lazio

Pertandingan: 32
Menang: 20
Imbang: 2
Kalah: 10

Untuk setiap kemenangan, klub akan mendapatkan nilai 3 poin, imbang 1 poin, dan kalah 0 poin.

8. Total banyaknya pertandingan di Liga Seri A Italia adalah … pertandingan.

A. 190
B. 200
C. 380
D. 400
E. 760

Jawaban: C. 380

Pembahasan:

Misalkan tim yang bermain adalah tim 1, 2, …, 20. Akan ada 19 pertandingan tim 1 dengan 19 tim lainnya, 18 pertandingan tim 2 dengan 18 tim lain selain tim 1, 17 pertandingan tim 3 dengan 17 tim lain selain tim 1 dan 2, dst.

Karena setiap tim melakukan tepat dua pertandingan dengan tim lain, total banyaknya pertandingan adalah (19 + 18 + ... + 1) x 2 = 380 pertandingan.

9. Poin minimal yang harus diperoleh Napoli di pertandingan tersisa untuk menjamin tim ini sebagai juara Liga Seri A tahun 2022 adalah ….

A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
E. 12

Jawaban: C. 8

Pembahasan:

Jumlah pertandingan yang harus dilakukan masing-masing tim adalah 38 pertandingan sehingga yang mungkin untuk juara adalah Napoli, Atalanta, atau AC Milan, karena Roma menyisakan 6 pertandingan yang jika menang semua poinnya menjadi 66 + 18 = 84 poin; artinya, masih kurang dari skor Napoli sekarang.

Karena skor akhir Atalanta dan AC Milan sama, dengan jumlah pertandingan sisa AC Milan lebih banyak, maka AC Milan akan memperoleh skor yang lebih tinggi dari Atalanta jika AC Milan memenangkan semua sisa pertandingan, yaitu skor akhirnya adalah 74 + 21 = 95.

Untuk menjamin Napoli menjadi juara liga, setidak-tidaknya skor akhir Napoli > 95, yaitu mendapatkan poin lebih dari 7 dari skor akhir sekarang. Jadi, minimal poin yang harus diperoleh Napoli adalah 8.

10. ika di pertandingan tersisa Atalanta memenangkan dua pertandingan dan sisanya imbang, kemungkinan komposisi menang – imbang – kalah untuk AC Milan pada pertandingan sisa untuk menjamin bahwa AC Milan menempati posisi kedua pada klasemen akhir adalah ….

(1) 3 – 3 – 1
(2) 3 – 2 – 2
(3) 3 – 4 – 0
(4) 3 – 0 – 4

A. 1,2,3 benar
B. 1,3 benar
C. 2,4 benar
D. 4 saja benar
E. semua benar

Jawaban: A. 1,2,3 benar

Pembahasan:

Jika di pertandingan tersisa Atalanta memperoleh dua kemenangan dan 4 hasil imbang, poin akhir Atalanta adalah 74 + 6 + 4 = 84 poin. Akan tetapi, Roma masih menyisakan 6 pertandingan yang jika menang semua, skor akhirnya adalah 66 + 18 = 84; sama dengan Atalanta. Dengan demikian, untuk menjamin AC Milan akan menempati posisi kedua, setidaknya harus memperoleh poin > 84 atau poin tambahan > 10.

Jadi,

(1) 3 – 3 – 1 mungkin karena poin tambahannya 9 + 3 = 12 poin > 10
(2) 3 – 2 – 2 mungkin karena poin tambahannya 9 + 2 = 11 poin > 10
(3) 3 – 4 – 0 mungkin karena poin tambahannya 9 + 4 = 13 poin > 10
(4) 3 – 0 – 4 tidak mungkin karena poin tambahannya 9 poin saja < 10>

(1), (2), dan (3) benar.

Demikian paparan mengenai beberapa contoh soal penalaran Matematika UTK SNBT 2023 dan kunci jawabannya sebagaimana di atas. Semoga bermanfaat.

Baca berita update lainnya dari Sonora.id di Google News

Baca Juga: 30 Contoh Soal Olimpiade Matematika SMP Lengkap dengan Jawabannya