Sonora.ID - Mengutip dari buku Bank Soal Matematika SMA, nilai mutlak suatu bilangan real x, dinyatakan sebagai berikut: |x| = {x, jika x ≥ 0 atau -x, jika x < 0}.

Sementara itu, untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak diperlukan langkah-langkah sebagai berikut.

• Gunakan sifat-sifat nilai mutlak.
• Kuadratkan kedua ruas.
• Pastikan ruas kanan = 0.
• Faktorkan ruas kiri menjadi faktor-faktor linear.

Untuk memahaminya berikut ini kami sajikan kumpulan contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak lengkap dengan pembahasan jawabannya sebagai bahan untuk belajar, yang dikutip dari berbagai sumber tepercaya.

Baca Juga: 20 Contoh Soal Statistika Matematika Lengkap dengan Jawabannya

Contoh Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Soal 1

Semua nilai x yang memenuhi 0 < |x – 2 | ≤ 2 adalah…

Jawaban:

Pertidaksamaan di atas ekuivalen dengan |x – 2 | > 0 dan |x – 2 | ≤ 2

Cari himpunan penyelesaian dari |x – 2 | > 0

Pertidaksamaan ini terpenuhi untuk setiap nilai x kecuali pembuat nol di ruas kiri, yaitu x = 2.

Maka, himpunan penyelesaiannya adalah

HP1 = {x | x ≠ 2}

Cari himpunan penyelesaian dari |x – 2 | ≤ 2

|x – 2 | ≤ 2

-2 ≤ x – 2 ≤ 2

-2 + 2 ≤ x ≤ 2 + 2

0 ≤ x ≤ 4

Maka, himpunan penyelesaiannya adalah

HP2 = {x | 0 ≤ x ≤ 4}

Karena ada 2 himpunan penyelesaian, kita cari irisannya, yaitu:

HP = HP1 ∩ HP2

HP = {x | x ≠ 2} ∩ {x | 0 ≤ x ≤ 4}

HP = {x | 0 ≤ x < 2 atau 2 < x ≤ 4}

Jadi, semua nilai x yang memenuhi {x | 0 ≤ x < 2 atau 2 < x ≤ 4} adalah {x | 0 ≤ x < 2 atau 2 < x ≤ 4}.

Soal 2

Carilah himpunan penyelesaian dari |3x – 4| < 5 dan x < 1.

Jawaban:

Pertidaksamaan pertama:

|3x – 4| < 5

-5 < 3x – 4 < 5

-5 + 4 < 3x < 5 + 4

-1 < 3x < 9

-1/3 < x < 9/3

-1/3 < x < 3 … (1)

Pertidaksamaan kedua:

x < 1 … (2)

Untuk 2 pertidaksamaan, kita cari irisan dari keduanya.

Karena batas atas (2) lebih kecil dari pada batas atas (1), maka kita gunakan batas atas milik (2)

Karena batas bawah (1) lebih besar dari pada batas bawah (2), maka kita gunakan batas bawah milik (1)

Sehingga diperoleh

-1/3 < x < 1

Jadi, himpunan penyelesaian dari |3x – 4| < 5 dan x < 1 adalah -1/3 < x < 1.

Soal 3

Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi |3-x| > 0!

Jawaban:

|3-x| > 0

Karena nilai mutlak tidak mungkin bernilai negatif, maka |3-x| akan menghasilkan nilai positif atau 0.

Nilai x yang memenuhi |x-3| = 0 adalah

x – 3 = 0

x = 3

Berarti, |3-x| akan selalu bernilai positif untuk nilai x selain 3.

Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi |3-x| > 0 adalah {x|x ≠ 3}.

Soal 4

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak di bawah ini. 

|5x+10|≤20 

Jawaban:

Untuk menjawab soal di atas, kita gunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak: 

Jika a>0 dan |x|≤a maka -a≤x≤a.

Sehingga penyelesaiannya adalah: 

-20≤5x+10≤20 

-30≤5x≤10 

-6≤x≤2 

Maka himpunan penyelesaiannya dari soal di atas yaitu: -6≤x≤2

Soal 5

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak di bawah ini. 

|5x+10|≥20

Jawaban:

Untuk menjawab soal di atas, kita gunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak:

Jika a>0 dan |x|≥a, maka x≥a atau x≤-a.

Sehingga bisa kita tulis: 

5x+10≥20 

5x≥10 

x≥2 

5x+10≤-20 

5x≤-30 

x≤-6 

Maka himpunan penyelesaiannya adalah: x≥2 atau x≤-6.

Soal 6

Bentuk pertidaksamaan dari 7x + 3 ≥ 9x + 15 adalah…

Jawaban:

7x + 3 ≥ 9x + 15

7x – 9x ≥ 15 – 3

-2x ≥ 12

-x ≥ 6

x ≤ -6

Soal 7

x ≥ -3 dan x ≤ 5. Jika x = 3 – 2a maka jawabannya adalah…

Jawaban:

x = 3 – 2a

x – 3 = -2a

-2a = x – 3

2a = 3 – x

a = (3 – x)/2

Untuk x ≥ -3 dan x ≤ 5 sama dengan -2,-1,0,1,2,3,4,5 maka ketika

x = -3

a = (3-(-3))/2 = 6/2 = 3

x = -2

a = (3-(-2))/2 = 5/2

x = -1

a= (3-(-1))/2 = 4/2 = 2

x = 0

a = (3-0)/2 = 3/2

x = 1

a = (3-1)/2 = 2/2 = 1

x = 2

a = (3-2)/2 = 1/2

x = 3

a = (3-3)/2 = 0

x = 4

a = (3-4)/2 = -1/2

x = 5

a = (3-5)/2 = -2/2 = -1

Maka, jawaban dari contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak beserta jawabannya adalah -1 ≤ a < 3.

Baca Juga: Contoh Soal Kombinasi Lengkap dengan Pembahasan Jawabannya

Soal 8

Jawaban yang tepat ketika ada pertanyaan nilai x dari -1 < 1/2 (4x -6) ≤ 3…

Jawaban:

-1 < 1/2 (4x -6) ≤ 3

-1 < ½ (4x) – ½ (6) ≤3

-1 < 2x -3 ≤ 3

-1 + 3 < 2x – 3 + 3 ≤ 3 + 3

2 < 2x ≤ 6

Dapat diperkecil menjadi 

1 < x ≤ 3

Soal 9

Nilai-nilai x yang memenuhi |x/2 + 3 | > 5/4 adalah …

Jawaban:

Pertama, mari sederhanakan pertidaksamaan untuk menghilangkan bentuk pecahan dengan mengalikan kedua ruas dengan 4.

4 × |x/2 + 3 | > 4 × 5/4

|2x + 12 | > 5

Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, maka:

2x + 12 < – 5 atau 2x + 12 > 5

2x + 12 < – 5

2x < – 5 – 12

2x < – 17

x < -17/2

Atau

2x + 12 > 5

2x > 5 -12

2x > -7

x > -7/2

Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi adalah x < -17/2  atau  x > -7/2.

Soal 10

Carilah himpunan penyelesaian dari |3x + 4 | ≤ 5 !

Jawaban:

|3x + 4 | ≤ 5

-5 ≤ 3x + 4 ≤ 5

-5 – 4 ≤ 3x ≤ 5 – 4

-9 ≤ 3x ≤ 1

-9/3 ≤ x ≤ ⅓

-3 ≤ x ≤ ⅓

Jadi, himpunan penyelesaian dari |3x + 4 | ≤ 5 adalah {-3 ≤ x ≤ ⅓}.

Soal 11

Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan |x-2| < 3 adalah…

Jawaban:

Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, maka:

|x-2| < 3

-3 < x-2 < 3

-3 + 2 < x < 3 + 2

-1 < x < 5

Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan |x-2| < 3 adalah -1 < x < 5.

Soal 12

Bentuk pertidaksamaan dari 6 < 3x + 4 ≤ 10 berapa?

Jawaban:

6 < 3x + 4 ≤ 10

6 – 4 < 3x + 4 – 4 ≤ 10 – 4

2 < 3x ≤ 6

2/3 < x ≤ 2

Soal 13

Pertidaksamaan dari harga mutlak  | 2x – 3 | ≥  5 sama dengan?

Jawaban:

| 2x – 3 | ≥  5

2x – 3 ≤ -5

2x ≤ -5 + 3

2x ≤ -2

x ≤ -1

Atau bisa juga diselesaikan dengan cara:

2x – 3 ≥ 5

2x ≥ 5 + 3

2x ≥ 8

x ≥ 4

Maka hasilnya adalah x ≤ -1 atau x ≥ 4.

Soal 14

Bentuk penyelesaian dari pertidaksamaan | x² – 3x + 1| < 1 adalah…

Jawaban:

| x² – 3x + 1| < 1 

-1 < x² – 3x + 1

x² – 3x + 1 > -1

x² – 3x + 2 > 0

(x – 1) (x – 2)  > 0

x < 1 atau x > 2

Soal 15

Berapakah nilai x dari pertidaksamaan | x² – 5x + 2| > 2?

Jawaban:

| x² – 5x + 2| > 2

x² – 5x + 2 < -2

x² – 5x + 4 < 0

(x – 1) (x – 4) < 0

1 < x < 4

Atau bisa dijawab dengan

x² – 5x + 2 > 2

x² – 5x > 0

x(x – 5) > 0

x < 0 atau x > 5.

Baca Juga: 30 Contoh Soal Olimpiade Matematika SMP Lengkap dengan Jawabannya

Baca berita update lainnya dari Sonora.id di Google News.