Sonora.ID - Berikut adalah penjelasan mengenai rumus suku ke-n dalam barisan aritmatika dan geometri.

Rumus Suku ke-n dalam Barisan Aritmatika dan Geometri adalah salah satu konsep matematika dasar yang sangat berguna dalam menyelesaikan berbagai masalah matematika.

Konsep ini sering digunakan dalam berbagai bidang, mulai dari kehidupan sehari-hari hingga dunia akademis.

Barisan Aritmatika adalah barisan angka yang memiliki selisih tetap antara suku-suku yang berurutan.

Sedangkan Barisan Geometri adalah barisan angka yang memiliki rasio tetap antara suku-suku yang berurutan.

Dalam kedua jenis barisan ini, rumus suku ke-n sangat penting untuk mengetahui nilai suku ke-n yang diinginkan.

Di dalam artikel ini, sebagai bahan belajar bagi pembaca, Sonora hendak memberi paparan lebih jauh soal rumus suku ke-n dalam barisan aritmatika dan geometri, lengkap dengan contoh soalnya.

Untuk tahu lebih jauh, simak penjelasan yang dikutip Sonora dari Kompas.com berikut ini, ya!

Baca Juga: 20 Contoh Soal Statistika Matematika Lengkap dengan Jawabannya

1. Rumus Suku ke-n dalam Barisan Aritmatika

Sn = n/2 x [2a + (n – 1)b]
Sn = n/2 x (a + Un)

Dengan,
Sn: jumlah suku ke-n (n = 1, 2, 3, 4, … )
n: bilangan real (1, 2, 3, 4, … )
a: nilai suku pertama (U1)
b: beda barisan aritmatika
Un: nilai suku ke-n

Penurunan rumus jumlah suku ke-n barisan aritmatika

Persamaan di atas didapatkan dari penurunan rumus barisan aritmatika. Jumlah suku ke-n adalah jumlah suku pertama (U1), suku kedua (U2), hingga suku ke n (Un), atau dapat ditulis sebagai berikut:

Sn = U1 + U2 + … Un … persamaan (1) 

Suku pertama (U1) bernilai a. Dilansir dari Cuemath, barisan aritmatika adalah barisan yang selisihnya tetap antara dua suku yang berurutan. Sehingga, nilai suku keduanya (U2) adalah suku pertama ditambah bedanya.

U1 = a … persamaan (2)
U2 = a + b … persamaan (3)
U3 = a + 2b persamaan (4)

Adapun nilai suku ke-n (Un) adalah nilai suku pertama ditambah dengan beda dikalikan dengan n-1. Dilansir dari Math is Fun, rumus suku ke –n barisan aritmatika adalah:

Un = a + (n – 1)b … persamaan (5)

Untuk mendapatkan jumlah suku ke-n barisan aritmatika, kita dapat mensubstitusikan persamaan (2), (3), (4), dan (5) ke dalam persamaan (1).

Sn = U1 + U2 + … Un
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + [a + (n – 1)b] … persamaan (6)

Ingatlah bahwa U1, U2, da U3 juga mematuhi rumus Un, sehingga Sn dapat dituliskan sebagai berikut:

Sn = [a + (n – 1)b] + [a + (n – 2)b] + [a + (n – 3)b] + … + a … persamaan (7) 

Kemudian, tambahkan persamaan (6) dan persamaan (7):

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + [a + (n – 1)b]
Sn = [a + (n – 1)b] + [a + (n – 2)b] + [a + (n – 3)b] + … + a
2Sn = [2a + (n – 1)b] + [2a + (n – 1)b] + [2a + (n – 1)b] + … + [2a + (n – 1)b]
2Sn = n [2a + (n – 1)b]
Sn = n/2 x [2a + (n – 1)b]
Sn = n/2 x [a + a + (n – 1)b)]
Sn = n/2 x (a + Un)

Sehingga, didapatkan bahwa rumus jumlah suku ke-n barisan aritmatika adalah n/2 dikalikan dengan nilai suku pertamanya (a) yang diambah dengan nilai suku ke-n (Un).

Baca Juga: Contoh Soal Penalaran Matematika UTBK SNBT 2023 dan Kunci Jawabannya

2. Rumus Suku ke-n dalam Barisan Geometri

Misalnya suatu barisan geometri memiliki suku pertama 2 (U1 = 2), suku kedua 6 (U2 = 6), dan suku ketiga 18 (U3 = 18). Untuk mencari rasionya, kita harus membagi suatu suku dengan suku sebelumnya.

U2 : U1 = 6 : 2 = 3
U3 : U2 = 18 : 6 = 3

Maka, didapatkan rasio umum (r) barisan geometrinya adalah 3. Dilansir dari Lumen Learning, suku barisan geometri ditemukan dengan mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan tetap atau rasio umum.

Sehingga untuk mencari suku keempat (U4), kita tinggal mengalikan suku ketiga (U3) dengan rasionya (r).

U4 = U3 x r = 18 x 3 = 54

Sehingga, untuk menentukan suku ke-n barisan geometri kita harus menjumlahkan seluruh suku sebelum n. Karena rasionya akan selalu sama, maka didapatkan rumus suku ke-n barisan geometri sebagai berikut:

Un = a . r^n-1

Dengan,
Un: suku ke-n (n = 1, 2, 3, 4, 5, …)
a: suku pertama
r: rasio umum

Dilansir dari Math is Fun, penggunaan n-1 dikarenakan suku pertama tidak menggunakan rasio atau berupa ar^0.

Demikian penjelasan mengenai rumus suku ke-n dalam barisan aritmatika dan geometri sebagaimana di atas. Semoga bermanfaat.

Baca berita update lainnya dari Sonora.id di Google News

Baca Juga: Rumus Luas Selimut Tabung, Lengkap dengan Contoh Soalnya