Sonora.ID – Distribusi binomial merupakan salah satu materi dalam ilmu statistic mengenai peluang (probabilitas).

Distribusi binomial dapat digunakan untuk menyelesaikan perhitungan tentang kemungkinan terjadinya keberhasilan atau kegagalan dari sebuah percobaan.

Untuk memudahkannya, pada artikel kali ini akan membahas mengenai contoh soal distribusi binominal beserta jawabannya.

Namun, sebelum membahas contoh soalnya, ada baiknya untuk mempelajari materi mengenai distribusi binomial berikut ini dilansir dari beberapa sumber:

1. Pengertian distribusi binomial

Distribusi binomial merupakan distribusi probabilitas/peluang khusus tipe data diskret (diskontinu), dimana hasilnya selalu bernilai sukses atau gagal saja. Distribusi binomial dapat dipakai saat eksperimennya paling sedikit berjumlah 2 (dua) kali.

2. Syarat eksperimen binomial

Ada beberapa syarat yang harus memenuni eksperimen binomial yaitu:

-Jumlah percobaan tetap (fixed number of trial).

-Tiap eksperimen pasti memiliki 2 (dua) hasil, yaitu sukses atau gagal.

-Peluang sukses tiap ekperimen besarnya sama.

-Setiap eksperimen bersifat bebas dan tidak terikat pada eksperimen lain.

Baca Juga: Contoh Soal Turunan Fungsi Aljabar Lengkap dengan Pembahasan Jawaban

3. Ciri-ciri distribusi binomial

Berikut ini ciri-ciri distribusi binomial yaitu sebagai berikut:

-Percobaan dilakukan berulang sebanyak n kali.

-Peluang berhasil dinyatakan sebagai p, sedangkan peluang gagal sebagai q, dimana p = 1-q.

-Jika n tetap serta p kecil atau <0,5, maka distribusinya miring ke kanan.

-Jika p tepat 0,5 distribusi simetris.

-Jika p>0,5 distribusi miring ke kiri.

-Apabila p bernilai tetap, sedangkan n makin besar maka distribusinya mendekati distribusi simetris.

-Keluaran eksperimen hanya memiliki 2 (dua) kategori, contoh: berhasil & gagal, ya & tidak.

-Setiap percobaan memiliki sifat independen (bebas) satu dengan lainnya.

4. Jenis-jenis Distribusi Binomial Khusus

 Jenis-jenis distribusi binomial khusus seperti berikut ini:

- Distribusi Binomial Negatif

Dinamakan binomial negatif bukan karena hasil perhitungannya bernilai minus. Distribusi binomial negatif pada dasarnya bukan untuk mencari besar kesuksesan suatu percobaan. Tujuannya mencari peluang pada kondisi awal untuk kesuksesan tertentu.

Dapatkan juga contoh soal distribusi binomial beserta jawabannya terkait materi jenis ini.

-Distribusi Binomial Kumulatif

Distribusi binomial kumulatif tidak sama dengan kondisi normal karena menghitung peluang dari beberapa kondisi sukses.

-Distribusi Binomial Poisson

Distribusi binomial poisson adalah jenis yang istimewa. Karena materi ini hanya akan digunakan ketika besar peluang sukses kecil, yaitu p<0,05. Sementara itu, jumlah percobaan besar, yaitu n>20.

Baca Juga: Rumus Luas Selimut Tabung, Lengkap dengan Contoh Soalnya

5. Rumus yang Digunakan untuk Distribusi Binomial

Rumus-rumus berikut ini yang dapat digunakan untuk distribusi binomial, serta rumus untuk mean dan varian.

-Rumus Distribusi Binomial

Normal:

P(X = x) = C_(n.x) x p^x x q^n-x

Atau

P (x.n) = nn-xx x p^x x q^n-x

Negatif:

P(X = x) = C_(n-1.x-1) x p^x x q^n-x

Kumulatif:

PBK = x=0nC_(n.x) x p^x x q^n-x

PBK = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = n)

Poisson:

P(X = x) = λ^xe^-λ

      ____

        X

-Rumus Mean

μ = n.p

-Rumus Varian

= n.p.q

Keterangan:

n = jumlah percobaan

x = jumlah kesuksesan dari n percobaan

p = probabilitas sukses (1-q)

q = probabilitas gagal (1-p)

λ = banyaknya sukses diharapkan

e = bilangan euler (2,71828)

μ = rata-rata (mean)

= varian

Rumus distribusi binomial poisson sendiri harus mencari besar dari lambda (λ), yaitu λ = n x p.

Baca Juga: Rumus Keliling Persegi dan Contoh Soalnya dalam Matematika

6. Contoh Soal Distribusi Binomial

Contoh Soal 1

Melalui survei kebersihan gigi diketahui 2 dari 5 orang beberapa bulan terakhir telah mengunjungi dokter gigi.

Jika 12 orang dipilih secara acak, berapa probabilitas 4 orang di antaranya yang mengunjungi dokter dua bulan lalu?

Jawaban: 0,213

Penyelesaian:

n = 12 ; x = 4 ; p = 25 ; q = 35

maka

P(x,n) = nn-xx x p^x x q^n-x

P(4,12) = 128!4! x (25)⁴ x (35)⁸ =  0,213

Contoh Soal 2

Hitunglah besar Mean dan Varian dari contoh soal 1 di atas.

Jawaban: 4,8 dan 2,88

Penyelesaian:

n = 12 ; x = 4 ; p = 25 ; q = 35

Maka, besar Mean dan Varian adalah:

Mean:

= n.p = 12 x 25 = 4,8

Varian:

= n.p.q = 12 x 25 x 35 = 2,88

Contoh Soal 3

Pada sebuah sekolah, 5 orang guru mengikuti tes UKG yang tingkat kelulusannya adalah 0,6.

Tentukan probabilitas ketika kondisi sebanyak 2 guru lulus. (soal ini adalah contoh penyelesaian distribusi binomial kumulatif).

Jawaban: 0,091307

Penyelesaian:

n = 5 ; p = 0,6 ; q = 0,4

Maka:

P(X = 0) = 5!5!0! x (0,6)⁰ x (0,4)⁵ = 0,01024

P(X = 1) = 5!4!1! x (0,6)¹ x (0,4)⁴ = 0,0768

P(X = 2) 5!3!2! x (0,6)² x (0,4)³ = 0,2304

Sehingga:

PBK = 0,01024 + 0,0768 + 0,2304 = 0,31744

Baca Juga: Matematika: 11 Contoh Soal Eksponen Kelas 10 beserta Jawabannya Mudah

Contoh Soal 4

Dari soal nomor 3 di atas, tentukan probabilitas ketika kondisi 4 guru lulus.

Jawaban: 0,33696

Penyelesaian:

n = 5 ; p = 0,6 ; q = 0,4

P(X = 4) = 5!1!4! x (0,6)⁴ x (0,4)¹ = 0,2592

P(X = 5) = 5!0!5! x (0,6)⁵ x (0,4)⁰ = 0,07776

PBK = 0,2592 + 0,07776 = 0,33696

Contoh Soal 5

Penelitian Osteoarthritis (OA) terhadap tikus telah dilakukan oleh Bertrand Zobrist.

Hasilnya, 4 ekor tikus terserang penyakit OA tersebut. Jika kemungkinan terserang penyakit sebanyak 40%, hitunglah peluang Bertrand Zobrist dengan menggunakan 10 ekor tikus.

Jawaban: 0,10033

Penyelesaian:

n = 10 ; x = 4 ; p = 0,4 ; q = 0,6

Maka:

P(X = x) = C_(n-1,x-1) x p^x x q^n-x

P(X = 4) = C_(9,3) x (0,4)⁴ x (0,6)⁶

P(X = 4) = 0,10033

Contoh Soal 6

Dari soal nomor 5 untuk distribusi binomial negatif, hitunglah peluang ketika Bertrand Zobrist hanya menggunakan 6 ekor tikus.

Jawaban: 0,9216

Penyelesaian:

n = 6 ; x = 4 ; p = 0,4 ; q = 0,6

Maka:

P(X =x) = C_(n-1,x-1) x p^x x q^n-x

P(X = 4) = C^(5,3) x (0,4)⁴ x (0,6)²

P(X = 4) = 0,9216

Baca Juga: Jenis-jenis Bilangan Pecahan dan Contohnya yang Mudah Dimengerti

Contoh Soal 7

Diketahui perusahaan chipset motherboard setiap harinya menghasilkan 1000 unit. Dari data perusahaan tersebut diketahui sekitar 0,5% chipset telah mengalami kerusakan.

Hitunglah besar probabilitas 5 chipset yang rusak dalam sehari dengan menggunakan rumus distribusi binomial normal.

Jawaban: 0,1759

Penyelesaian:

n = 1000 ; x = 5 ; p = 0,005 ; q = 0,995

Maka:

P(x,n) = n!n-x!x! x p^x x q^n-x

P(5,1000) = 1000!995!5! x (0,005)⁵ x (0,995)⁹⁹⁵ = 0,1759

Contoh Soal 8

Melihat data soal 7 di atas, berapakah kemungkinannya jika dihitung menggunakan rumus distribusi binomial poisson?

Jawaban: 0,1755

Penyelesaian:

n = 1000 ; x = 5 ; p = 0,005 ; q = 0,995

λ = n.p = 1000 x 0,005 = 5

Maka:

P(X = x) = λ^xe^-λ

    _____

        x!

P(X = x) = 5⁵e^-5

      _____ = 0,1755

          5!

Contoh Soal 9

Diketahui sebuah sekolah memiliki 5 siswa yang berprestasi untuk uji coba AKM yang tingkat kelulusannya mencapai 0,8. Berapa probabilitas ketika 3 siswa lulus tes?

Jawaban: 0,94208

Penyelesaian:

n=5 ; p=0,8 ; q=0,2

Sehingga:

P(X = 3) = 5!2!3! x (0,8)³ x (0,2)² = 0,2048

P(X = 4) = 5!1!4! x (0,8)⁴ x (0,2)¹ = 0,4096

P(X = 5) = 5!0!5! x (0,8)⁵ x (0,2)⁰ = 0,32768

Maka:

PBK = 0,2048 + 0,4096 + 0,32768 = 0,94208

Contoh Soal 10

Dari data pada soal nomor 9, berapakah probabilitas jika hasilnya 2 siswa lulus tes AKM?

Jawaban: 0,99328

Penyelesaian:

n=5 ; p=0,8 ; q=0,2

Sehingga:

P(X = 2) = 5!3!2! x (0,8)² x (0,2)³ = 0,0512

P(X = 3) = 5!2!3! x (0,8)³ x (0,2)² + 0,2048

P(X = 4) = 5!1!4! x (0,8)⁴ x (0,2)¹ + 0,4096

P(X = 5) = 5!0!5! x (0,8)⁵ x (0,2)⁰ + 0,32768

Maka:

PBK = 0,0521 + 0,2048 + 0,4096 + 0,32768 = 0,99328

Baca Juga: 20 Contoh Soal Statistika Matematika Lengkap dengan Jawabannya