Sonora.ID - Dalam artikel ini kita akan mempelajari bersama mengenai salah satu materi Matematika yakni mengenai barisan aritmatika bertingkat.

Barisan aritmatika bertingkat merupakan barisan aritmatika khusus yang memiliki selisih tidak tetap pada suku tingkat pertamanya, tapi memiliki selisih tetap pada suku tingkat ke-n, di mana n lebih besar dari 1.

Misalnya:

2, 5, 10, 17, 26

Dari barisan angka tersebut kita dapat mengetahui bahwa selisih antar suku pada tingkat pertamanya tidak tetap.

Baca Juga: Contoh Soal Aritmatika Sosial dan Pembahasan: Matematika Kelas 7 SMP

Jenis Aritmatika Bertingkat

Adapun jenis aritmatika bertingkat yang akan kita bahas kali ini adalah aritmatika bertingkat dua dan aritmatika bertingkat tiga. Berikut ini paparan lengkapnya yang dikutip dari berbagai sumber.

Aritmatika Bertingkat Dua

Aritmatika yang selisih tetapnya berada di barisan tingkat keduanya. Barisan tingkat kedua itu diperoleh dari selisih barisan tingkat pertama.

Rumus Aritmatika Bertingkat Dua

Un = an2 + bn c

Dengan :

Un = suku ke-n;

a, b = koefisien yang harus dicari nilainya

c = konstanta yang harus dicari nilainya

n = posisi suku

Lantas bagaimana caranya untuk menentukan nilai a, b, dan c?

Buatlah barisan dengan n = 1, 2, 3, 4, dst, caranya substitusikan nilai n = 1, 2, 3, dst ke persamaan umum aritmatika bertingkat dua.

• Untuk n = 1

U1  = an + bn + c   = a(1)2 + b(1) + c   = a + b + c

• Untuk n = 2

U2  = an2 + bn + c   = a(2)2 + b(2) + c   = 4a + 2b + c

• Untuk n = 3

U3  = an2 + bn + c   = a(3)2 + b(3) + c   = 9a + 3b + c

• Untuk n = 4

U4  = an2 + bn + c   = a(4)2 + b(4) + c   = 16a + 4b + c

Selanjutnya, cari selisih di antara suku-suku tersebut sehingga diperoleh:

• Selisih suku pertama (U1) dengan suku kedua (U2)

b = U2 - U1 = (4a + 2b + c) - (a + b + c)

b = 4a - a + 2b - b + c - c

b = 3a + b

• Selisih suku kedua (U2) dengan suku ketiga (U3)

b = U3 - U2 = (9a + 3b + c) - (4a + 2b + c)

b = 9a - 4a + 3b - 2b + c - c

b = 5a + b

• Selisih suku ketiga (U3) dengan suku keempat (U4)

b = U4 - U3 = (16a + 4b + c) - (9a + 3b + c)

b = 16a - 9a + 4b - 3b + c - c

b = 7a + b

Setelah itu, anggaplah 3a + b, 5a + b, dan 7a + b sebagai suku-suku baru di tingkat pertama kemudian cari lagi selisih antara suku-suku baru tersebut untuk mendapatkan selisih yang tetap di tingkat kedua.

• Selisih suku pertama di tingkat pertama (U1*) dengan suku kedua di tingkat pertama (U2*)

b = U2* - U1* = 5a + b - (3a + b)

b = 5a - 3a + b - b = 2a

• Selisih suku kedua di tingkat pertama (U2*) dengan suku ketiga di tingkat pertama (U3*)

b = U3* - U2* = 7a + b - (5a + b)

b = 7a - 5a + b - b = 2a

Pola Barisan Aritmatika Bertingkat Dua

Diketahui bahwa selisih antara suku-suku baru di tingkat 1 yang saling berdekatan pada barisan aritmatika tersebut adalah:

Baca Juga: Barisan dan Deret Aritmatika: Pengertian, Rumus dan Contoh

Aritmatika Bertingkat Tiga

Aritmatika bertingkat tiga adalah barisan aritmatika yang selisih tetapnya berada di barisan tingkat ketiga. 

Rumus Aritmatika Bertingkat Tiga

Un = an3 + bn2 + cn + d

Keterangan=

Un = suku ke-n

a, b, c = koefisien yang harus dicari nilainya

d = konstanta yang harus dicari nilainya

n = posisi suku

Setelah itu, cari dulu pola barisan aritmatika bertingkat tiganya ya dari rumus di atas dengan cara sebagai berikut.

• Untuk n = 1

Un = an3 + bn2 + cn + d

U1 = a(1)3 + b(1)2 + c(1) + d

U1 = a + b + c + d  

• Untuk n = 2

Un = an3 + bn2 + cn + d

U2 = a(2)3 + b(2)2 + c(2) + d

U2 = 8a + 4b + 2c + d

• Untuk n = 3

Un = an3 + bn2 + cn + d

U3 = a(3)3 + b(3)2 + c(3) + d

U3 = 27a + 9b + 3c + d

• Untuk n = 4

Un = an3 + bn2 + cn + d

U4 = a(4)3 + b(4)2 + c(4) + d

U4 = 64a + 16b + 4c + d

• Untuk n = 5

Un = an3 + bn2 + cn + d

U5 = a(5)3 + b(5)2 + c(5) + d

U5 = 125a + 25b + 5c + d

Cari selisih dari suku-suku tersebut, maka diperoleh:

• Selisih suku pertama (U1) dengan suku kedua (U2)

b = U2 - U1 = (8a + 4b + 2c + d) - (a + b + c + d)

b = 8a - a + 4b - b + 2c - c + d - d

b = 7a + 3b + c

• Selisih suku kedua (U2) dengan suku ketiga (U3)

b = U3 - U2 = (27a + 9b + 3c + d) - (8a + 4b + 2c + d)

b = 27a - 8a + 9b - 4b + 3c - 2c + d - d

b = 19a + 5b + c

• Selisih suku ketiga (U3) dengan suku keempat (U4)

b = U4 - U3 = (64a + 16b + 4c + d) - (27a + 9b + 3c + d)

b = 64a - 27a + 16b - 9b + 4c - 3c + d - d

b = 37a + 7b + c

• Selisih suku ketiga (U4) dengan suku keempat (U5)

b = U5 - U4 = (125a + 25b + 5c + d) - (64a + 16b + 4c + d)

b = 125a - 64a + 25b - 16b + 4c - 3c + d - d

b = 61a + 9b + c

Lantaran selisih antara suku-sukunya belum sama, anggaplah 7a + 3b + c, 19a + 5b + c, 37a + 7b + c, dan 61a + 9b + c sebagai suku-suku baru di tingkat pertama. 

Setelah itu, cari lagi selisih antara suku-suku baru tersebut untuk mendapatkan selisih yang tetap dengan cara di bawah ini.

• Selisih suku pertama di tingkat pertama (U1*) dengan suku kedua di tingkat pertama (U2*)

b = U2* - U1* = 19a + 5b + c - (7a + 3b + c)

b = 19a - 7a + 5b - 3b + c - c

b = 12a + 2b

• Selisih suku kedua di tingkat pertama (U2*) dengan suku ketiga di tingkat pertama (U3*)

b = U3* - U2* = 37a + 7b + c - (19a + 5b + c)

b = 37a - 19a + 7b - 5b + c - c 

b = 18a + 2b

• Selisih suku kedua di tingkat pertama (U3*) dengan suku ketiga di tingkat pertama (U4*)

b = U4* - U3* = 71a + 9b + c - (37a + 7b + c)

b = 61a - 37a + 9b - 7b + c - c 

b = 24a + 2b

Dari perhitungan di atas masih belum ditemukan nilai beda yang tetap sehingga anggaplah 12a + 2b, 18a + 2b, dan 24a + 2b sebagai suku-suku baru di tingkat kedua dan cari lagi selisih suku-suku baru tersebut agar mendapat nilai beda yang tetap.

• Selisih suku pertama di tingkat pertama (U1**) dengan suku kedua di tingkat pertama (U2**)

b = U2** - U1** = 18a + 2b - (12a + 2b)

b = 18a - 12a + 2b - 2b 

b = 6a

• Selisih suku kedua di tingkat pertama (U2**) dengan suku ketiga di tingkat pertama (U3**)

b = U3** - U2** = 24a + 2b - (18a + 2b)

b = 24a - 18a + 2b - 2b

b = 6a

Pola Barisan Aritmatika Bertingkat Tiga

Selisih antara suku-suku baru di tingkat 2 yang saling berdekatan pada barisan aritmatika tersebut adalah:

Contoh Soal

Tentukan suku ke-7 dari barisan aritmatika bertingkat 5, 6, 9, 14, …

Jawaban

Diketahui, U1 = 5, U2 = 6, U3 = 9, dan U4 = 14.

• Selisih antara U1 dengan U2

b = U2 - U1 = 6 - 5 = 1

• Selisih antara U2 dengan U3

b = U3 - U2 = 9 - 6 = 3

• Selisih antara U3 dengan U4

b = U4 - U3 = 14 - 9 = 5

Lantaran selisihnya belum tetap, anggap 1, 3, dan 5 sebagai suku-suku baru di tingkat pertama, dan cari lagi selisih antara suku-suku baru tersebut.

• Selisih antara U1* dengan U2*

b = U2* - U1* = 3 - 1 = 2

• Selisih antara U2* dengan U3*

b = U3* - U2* = 5 - 3 = 2

Kalau lihat dari pola barisan aritmatika tingkat dua dan pola barisan soalnya, berarti a + b + c nilainya sama dengan 5 dan 3a + b nilainya sama dengan 1. Didapatkan:

• 2a = 2

a = 1

• 3a + b = 1

3(1) + b = 1

b = 1 - 3

b = -2

• a + b + c = 5

1 - 2 + c = 5

c = 5 - 1 + 2

c = 6

Setelah diperoleh nilai a, b, dan c, masukkan nilainya ke dalam rumus barisan aritmatika bertingkat dua:

Un = an2 + bn + c

Un = n2 - 2n + 6

Berarti untuk mencari U7 dengan n = 7, maka masukkan saja nilai n = 7 ke dalam rumus Un = n2 - 2n + 6.

U7 = 72 - (2)(7) + 6 = 49 - 14 + 6 = 41.

Baca Juga: Rumus Suku ke-n dalam Barisan Aritmatika & Geometri dan Contoh Soalnya

Baca berita update lainnya dari Sonora.id di Google News.